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In mwcwmatematica, e in particolare in mwdageometria, una mwdqipersfera è l'analogo di una mwdgsfera in più di tre dimensioni. Una ipersfera di mwdwraggio mwea r {\displaystyle r} nello mweqspazio euclideo mweg n {\displaystyle n} -dimensionale consiste di tutti i punti che hanno distanza mwew r {\displaystyle r} da un dato punto fissato mwfa P {\displaystyle P} , chiamato mwfqmwfgcentro dell'ipersfera

mwgq S n = { x ∈ ∈ R n : ‖ x − − P ‖ = r } {\displaystyle S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|=r\right\}}

e rappresenta quindi un'ipersuperficie, ossia una mwgwvarietà mwha ( n − − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionale immersa nello spazio mwhq n {\displaystyle n} -dimensionale. Per tale motivo, su alcuni testi, in particolare in mwhgtopologia, viene indicata con mwhw S n − − 1 {\displaystyle S_{n-1}} invece che mwia S n {\displaystyle S_{n}} . In questo articolo, sarà indicata con mwiq S n {\displaystyle S_{n}} , per rendere più chiare alcune relazioni matematiche. Tuttavia, accenneremo alla notazione utilizzata in topologia nell'ultimo paragrafo.

Nello spazio euclideo, l'ipersfera mwiw S n {\displaystyle S_{n}} è la mwjafrontiera della mwjqpalla mwjg n {\displaystyle n} -dimensionale chiusa, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore o uguale a mwjw r {\displaystyle r} da un dato punto mwka P {\displaystyle P}

mwkw V ¯ ¯ n = { x ∈ ∈ R n : ‖ x − − P ‖ ⩽ ⩽ r } , {\displaystyle {\overline {V}}_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|\leqslant r\right\},}

e racchiude la palla mwlq n {\displaystyle n} -dimensionale aperta, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore di mwlg r {\displaystyle r} da un dato punto mwlw P {\displaystyle P}

mwmg V n = { x ∈ ∈ R n : ‖ x − − P ‖ < r } . {\displaystyle V_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|<r\right\}.}

Per esempio:

• nello spazio euclideo 1-dimensionale, ossia la mwngretta, mwnw S 1 {\displaystyle S_{1}} è una coppia di punti che delimita mwoa V 1 {\displaystyle V_{1}} che è un mwoqsegmento;

• nello spazio euclideo 2-dimensionale, ossia il mwowpiano, mwpa S 2 {\displaystyle S_{2}} è una mwpqcirconferenza che delimita mwpg V 2 {\displaystyle V_{2}} che è un mwpwcerchio;

• nello spazio euclideo 3-dimensionale, mwqq S 3 {\displaystyle S_{3}} è una superficie sferica ordinaria che delimita mwqg V 3 {\displaystyle V_{3}} che è l'interno della mwqwsfera.

• Rappresentazione di un'ipersfera

• Coordinate ipersferiche

• Ipervolume e ipersuperficie

• Dimostrazione

• Tabella di valori al variare del numero di dimensioni

• Considerazioni

• I paradossi delle ipersfere

• Primo paradosso

• Secondo paradosso

• Notazione utilizzata in topologia

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

In coordinate cartesiane mwrw ( x 1 , x 2 , … … , x n ) {\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)} , l'equazione

mwsg ‖ x − − P ‖ = r {\displaystyle \left\|x-P\right\|=r}

di un'ipersfera di centro mwta P = ( p 1 , p 2 , … … , p n ) {\displaystyle P=\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\right)} e raggio mwtq r {\displaystyle r} si scrive

mwua ( x 1 − − p 1 ) 2 + ( x 2 − − p 2 ) 2 + ⋯ ⋯ + ( x n − − p n ) 2 = r 2 {\displaystyle (x_{1}-p_{1})^{2}+(x_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-p_{n})^{2}=r^{2}}

Un'ipersfera di raggio mwug r {\displaystyle r} e centro mwuw P {\displaystyle P} può essere anche rappresentata in forma parametrica mediante le seguenti equazioni:

mwvg x 1 = p 1 + r cos ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) x 2 = p 2 + r sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) cos ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 2 ) x 3 = p 3 + r sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 2 ) cos ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 3 ) ⋮ ⋮ x n − − 1 = p n − − 1 + r sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) ⋯ ⋯ sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 2 ) cos ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 1 ) x n = p n + r sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) ⋯ ⋯ sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 2 ) sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=p_{1}+r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=p_{2}+r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=p_{3}+r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\\vdots \\x_{n-1}&=p_{n-1}+r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=p_{n}+r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\end{aligned}}}

dove l'ultima variabile angolare mwwa ϕ ϕ n − − 1 {\displaystyle \phi _{n-1}} varia in un intervallo di ampiezza mwwq 2 π π {\displaystyle 2\pi } mentre le altre variano un intervallo di ampiezza mwwg π π {\displaystyle \pi } .

Strettamente correlata alla rappresentazione parametrica di un'ipersfera, c'è la definizione di coordinate ipersferiche.

In uno spazio euclideo mwxg n {\displaystyle n} -dimensionale, oltre alle coordinate cartesiane, possiamo definire un mwxwsistema di coordinate analogo al mwyasistema delle coordinate sferiche definito per lo spazio euclideo mwyq 3 {\displaystyle 3} -dimensionale, nel quale le coordinate consistono in una coordinata radiale mwyg r {\displaystyle r} , ed mwyw n − − 1 {\displaystyle n-1} coordinate angolari mwza ϕ ϕ 1 , ϕ ϕ 2 , … … , ϕ ϕ n − − 1 {\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\phi _{n-1}} . Se mwzq x i {\displaystyle x_{i}} sono le coordinate cartesiane, allora possiamo definire

mwaa x 1 = r cos ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) x 2 = r sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) cos ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 2 ) x 3 = r sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 2 ) cos ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 3 ) ⋮ ⋮ x i = r ∏ ∏ t = 1 i − − 1 sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ t ) cos ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ i ) con 2 ≤ ≤ i ≤ ≤ n − − 1 ⋮ ⋮ x n − − 1 = r sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) ⋯ ⋯ sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 2 ) cos ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 1 ) x n = r sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) ⋯ ⋯ sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 2 ) sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 1 ) = r ∏ ∏ t = 1 n − − 1 sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ t ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\\vdots \\x_{i}&=r\prod _{t=1}^{i-1}\sin(\phi _{t})\cos(\phi _{i})\quad {\text{con}}\quad 2\leq i\leq n-1\\\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})=r\prod _{t=1}^{n-1}\sin(\phi _{t})\end{aligned}}}

Come abbiamo visto in precedenza, queste equazioni forniscono anche la rappresentazione parametrica di un'ipersfera, se fissiamo la coordinata radiale mwag r {\displaystyle r} che corrisponderà al raggio dell'ipersfera rappresentata, supponendo che essa sia centrata nell'origine.

Da esse si possono ottenere le seguenti trasformazioni inverse:

mwbg tan ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 1 ) = x n x n − − 1 tan ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 2 ) = x n 2 + x n − − 1 2 x n − − 2 ⋮ ⋮ tan ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) = x n 2 + x n − − 1 2 + ⋯ ⋯ + x 2 2 x 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\phi _{n-1})&={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}\\\tan(\phi _{n-2})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}\\\vdots \\\tan(\phi _{1})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}\end{aligned}}}

Si noti che l'ultimo angolo mwca ϕ ϕ n − − 1 {\displaystyle \phi _{n-1}} varia in un intervallo di ampiezza mwcq 2 π π {\displaystyle 2\pi } mentre gli altri angoli variano in un intervallo di ampiezza mwcg π π {\displaystyle \pi } . Questo intervallo copre l'intera ipersfera.

L'mwdaelemento di ipervolume nello spazio euclideo mwdq n {\displaystyle n} -dimensionale si ottiene dallo mwdgJacobiano della trasformazione:

mweq d R n V n = | det ∂ ∂ ( x i ) ∂ ∂ ( r , ϕ ϕ j ) | d r d ϕ ϕ 1 d ϕ ϕ 2 … … d ϕ ϕ n − − 1 = r n − − 1 sin n − − 2 ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) sin n − − 3 ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 2 ) ⋯ ⋯ sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 2 ) d r d ϕ ϕ 1 d ϕ ϕ 2 ⋯ ⋯ d ϕ ϕ n − − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}\end{aligned}}}

e l'equazione per l'ipervolume dell'ipersfera può essere ottenuta tramite la seguente integrazione:

mwfq V n = ∫ ∫ r = 0 R ∫ ∫ ϕ ϕ 1 = 0 π π ⋯ ⋯ ∫ ∫ ϕ ϕ n − − 2 = 0 π π ∫ ∫ ϕ ϕ n − − 1 = 0 2 π π d R n V n . {\displaystyle V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}.}

L'elemento di mwfwipersuperficie mwga ( n − − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionale dell'ipersfera, che generalizza l'elemento d'area della superficie sferica mwgg 2 {\displaystyle 2} -dimensionale nello spazio mwgw 3 {\displaystyle 3} -dimensionale, è dato da:

mwhg d S n V n − − 1 = r n − − 1 sin n − − 2 ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 1 ) sin n − − 3 ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ 2 ) ⋯ ⋯ sin ⁡ ⁡ ( ϕ ϕ n − − 2 ) d ϕ ϕ 1 d ϕ ϕ 2 … … d ϕ ϕ n − − 1 {\displaystyle d_{S_{n}}V_{n-1}=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}

e si ha

mwig d R n V n = d r d S n V n − − 1 . {\displaystyle d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}=dr\ d_{S_{n}}V_{n-1}.}

Quando si parla di mwjq"volume", o più propriamente di mwjgipervolume, di una ipersfera mwjw S n {\displaystyle S_{n}} , in realtà ci si riferisce alla mwkamisura mwkq n {\displaystyle n} -dimensionale della corrispondente palla mwkg V n {\displaystyle V_{n}} . Invece, quando si parla di mwkw"area superficiale", o più propriamente di mwlamisura ipersuperficiale, di una ipersfera mwlq S n {\displaystyle S_{n}} , ci si riferisce alla sua misura mwlg ( n − − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionale. Come misura, solitamente, si considera la mwlwmisura di Lebesgue.

Chiarito ciò, si dimostra che l'ipervolume dell'ipersfera è dato da:

mwmw V n ( r ) = π π n / 2 Γ Γ ( n 2 + 1 ) r n , {\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n},}

dove mwnq Γ Γ {\displaystyle \Gamma } denota la mwngfunzione Gamma.

Invece la misura ipersuperficiale dell'ipersfera è data da:

mwog S n ( r ) = 2 π π n 2 Γ Γ ( n 2 ) r n − − 1 . {\displaystyle S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}.}

A questo punto, una volta dimostrate queste espressioni, dalle proprietà della mwpafunzione Gamma, si evince che:

mwpw V n ( r ) = π π n / 2 Γ Γ ( n 2 + 1 ) r n = { π π n 2 r n ( n 2 ) ! , per n pari 2 n + 1 2 π π n − − 1 2 r n 1 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋯ ⋯ ⋅ ⋅ n , per n dispari {\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\end{cases}}}

mwqg S n ( r ) = 2 π π n / 2 Γ Γ ( n 2 ) r n − − 1 = { π π n 2 r n − − 1 1 2 ⋅ ⋅ ( n 2 − − 1 ) ! , per n pari 2 n + 1 2 π π n − − 1 2 r n − − 1 1 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋯ ⋯ ⋅ ⋅ ( n − − 2 ) , per n dispari {\displaystyle S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n-1}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n}{2}}-1\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n-1}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-2)}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\end{cases}}}

(Quest'ultima formula deve essere modificata se si adopera la notazione utilizzata in topologia, mwravedi più avanti.)

Osserviamo che risulta

mwsg ∫ ∫ R n e − − x 1 2 − − x 2 2 − − ⋯ ⋯ − − x n 2 d x 1 d x 2 ⋯ ⋯ d x n = ( ∫ ∫ − − ∞ ∞ + ∞ ∞ e − − x 1 2 d x 1 ) ( ∫ ∫ − − ∞ ∞ + ∞ ∞ e − − x 2 2 d x 2 ) ⋯ ⋯ ( ∫ ∫ − − ∞ ∞ + ∞ ∞ e − − x n 2 d x n ) = π π n 2 {\displaystyle \int _{R^{n}}e^{-{x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}-\cdots -{x_{n}}^{2}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{1}}^{2}}dx_{1}\right)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{2}}^{2}}dx_{2}\right)\cdots \left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{n}}^{2}}dx_{n}\right)=\pi ^{\frac {n}{2}}}

poiché si tratta del prodotto di mwtan mwtqintegrali di Gauss.

D'altra parte, ricordando l'equazione dell'ipersfera in coordinate cartesiane, se l'ipersfera è centrata nell'origine il suo raggio è dato da

mwuq r = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ ⋯ + x n 2 {\displaystyle r={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}}}}

e, inoltre, l'integrale esteso a tutto lo spazio mwuw R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi che si hanno nelle corone ipersferiche di spessore infinitesimo mwva d r {\displaystyle dr} centrate nell'origine, cioè

mwvw ∫ ∫ R n e − − x 1 2 − − x 2 2 − − ⋯ ⋯ − − x n 2 d x 1 d x 2 ⋯ ⋯ d x n = ∫ ∫ 0 + ∞ ∞ e − − r 2 S n ( r ) d r {\displaystyle \int _{R^{n}}e^{-{x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}-\cdots -{x_{n}}^{2}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}S_{n}(r)dr}

Dalle due identità, otteniamo

mwww ∫ ∫ 0 + ∞ ∞ e − − r 2 S n ( r ) d r = π π n 2 {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}S_{n}(r)dr=\pi ^{\frac {n}{2}}}

Notiamo adesso che la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio r è in relazione con la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio unitario nel seguente modo:

mwxw S n ( r ) = S n ( 1 ) r n − − 1 {\displaystyle S_{n}(r)=S_{n}(1)r^{n-1}}

Allora dall'identità precedente abbiamo

mwyw π π n 2 = S n ( 1 ) ∫ ∫ 0 + ∞ ∞ e − − r 2 r n − − 1 d r {\displaystyle \pi ^{\frac {n}{2}}=S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}r^{n-1}dr}

In questo integrale, operiamo la sostituzione

mwzw r = t {\displaystyle r={\sqrt {t}}}

da cui

mw0w d r = 1 2 t d t {\displaystyle dr={\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}dt}

Così facendo, otteniamo

mw1w π π n 2 = S n ( 1 ) ∫ ∫ 0 + ∞ ∞ e − − t ( t ) n − − 1 1 2 t d t = 1 2 S n ( 1 ) ∫ ∫ 0 + ∞ ∞ e − − t ( t ) n − − 2 d t = 1 2 S n ( 1 ) ∫ ∫ 0 + ∞ ∞ e − − t t n 2 − − 1 d t {\displaystyle \pi ^{\frac {n}{2}}=S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}\left({\sqrt {t}}\right)^{n-1}{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}dt={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}\left({\sqrt {t}}\right)^{n-2}dt={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}t^{{\frac {n}{2}}-1}dt}

Nell'ultimo integrale si riconosce facilmente la definizione della mw2qfunzione Gamma, quindi si ha

mw3a π π n 2 = 1 2 S n ( 1 ) ⋅ ⋅ Γ Γ ( n 2 ) {\displaystyle \pi ^{\frac {n}{2}}={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\cdot \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}

ossia

mw4a S n ( 1 ) = 2 π π n 2 Γ Γ ( n 2 ) {\displaystyle S_{n}(1)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}

da cui

mw5a S n ( r ) = 2 π π n 2 Γ Γ ( n 2 ) r n − − 1 . {\displaystyle S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}.}

È facile comprendere che l'ipervolume mw5w n {\displaystyle n} -dimensionale di un'ipersfera, come funzione mw6a V n ( r ) {\displaystyle V_{n}(r)} del raggio mw6q r {\displaystyle r} , è una primitiva della misura mw6g ( n − − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionale mw6w S n ( r ) {\displaystyle S_{n}(r)} dell'ipersuperficie. Infatti l'ipervolume può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi dati dagli ipervolumi delle corone ipersferiche di spessore infinitesimo mw7a d r {\displaystyle dr} centrate nell'origine, cioè

mw7w V n ( r ) = ∫ ∫ V n d x 1 d x 2 ⋯ ⋯ d x n = ∫ ∫ 0 r S n ( r ′ ) d r ′ {\displaystyle V_{n}(r)=\int _{V_{n}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\int _{0}^{r}S_{n}(r')dr'}

Alternativamente, ciò si ottiene anche dalla mw8qformula di Minkowski-Steiner, in virtù della quale risulta

mw9a S n ( r ) = d d r V n ( r ) {\displaystyle S_{n}(r)={\frac {d}{dr}}V_{n}(r)}

Dunque

mw-a V n ( r ) = ∫ ∫ 0 r 2 π π n 2 Γ Γ ( n 2 ) ( r ′ ) n − − 1 d r ′ = 2 π π n 2 n Γ Γ ( n 2 ) r n = π π n 2 n 2 Γ Γ ( n 2 ) r n = π π n 2 Γ Γ ( n 2 + 1 ) r n . {\displaystyle V_{n}(r)=\int _{0}^{r}{\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}{\left(r'\right)}^{n-1}dr'={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{n\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n}.}

Allo stesso risultato si può addivenire con tecniche classiche molto utili per imparare a ragionare in spazi n-dimensionali ed a mw-wsporcarsi le mani con integrali e manipolazioni. Prendiamo in considerazione una ipersfera in mw-a I R n {\displaystyle I\!\!R^{n}} centrata nell'origine di raggio mw-q r {\displaystyle r} ed uno degli assi che identifichiamo con mw-g x {\displaystyle x} . Per ogni punto di tale asse compreso nell'intervallo mw-w [ − − r , r ] ⊂ ⊂ I R {\displaystyle [-r,r]\subset I\!\!R} facciamo passare un mwaqaiperpiano perpendicolare ad mwaqe x {\displaystyle x} . L'intersezione di questo iperpiano con la nostra ipersfera è un ipercerchio, cioè un ipersfera di dimensione mwaqi n − − 1 {\displaystyle n-1} , il cui raggio è mwaqm r 2 − − x 2 {\displaystyle {\sqrt {r^{2}-x^{2}\,}}} . Possiamo, dunque, scrivere il volume della ipersfera come l'integrale da mwaqq − − r {\displaystyle -r} ad mwaqu r {\displaystyle r} della misura dell'ipercerchio. Da questo integrale ricaviamo una relazione tra mwaqy V n ( 1 ) {\displaystyle V_{n}(1)} e mwaqc V n − − 1 ( 0 ) {\displaystyle V_{n-1}(0)} ; essendo noto da semplici considerazioni mwaqg V 1 ( 0 ) {\displaystyle V_{1}(0)} determiniamo tutti gli altri

mwaqs V n ( 1 ) = V n ( r ) r n = 1 r n ∫ ∫ − − r r V n − − 1 ( r 2 − − x 2 ) d x = 1 r n ∫ ∫ − − r r V n − − 1 ( 1 ) [ r 2 − − x 2 ] n − − 1 d x = V n − − 1 ( 1 ) r n ∫ ∫ − − r r r n − − 1 [ 1 − − ( x r ) 2 ] n − − 1 d x {\displaystyle V_{n}(1)={\,V_{n}(r)\, \over r^{n}}={1 \over \,r^{n}\,}\int _{-r}^{r}{V_{n-1}\left({\sqrt {r^{2}-x^{2}\,}}\right)}dx={1 \over \,r^{n}\,}\int _{-r}^{r}{V_{n-1}(1)\,\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}\,}}\right]^{n-1}}dx={\,V_{n-1}(1)\, \over r^{n}}\int _{-r}^{r}r^{n-1}\left[{\sqrt {1-\left({x \over \,r\,}\right)^{2}\,}}\right]^{n-1}dx}

operiamo la sostituzione mwaq0 x = r sen ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ⇒ ⇒ d x = r cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) d ϑ ϑ {\displaystyle \quad x=r\,\operatorname {sen}(\vartheta )\quad \Rightarrow \quad dx=r\,\cos(\vartheta )d\vartheta }

mwara V n ( 1 ) = V n − − 1 ( 1 ) r n ∫ ∫ − − π π 2 π π 2 r n − − 1 [ 1 − − sen 2 ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ] n − − 1 r cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) d ϑ ϑ = V n − − 1 ( 1 ) ∫ ∫ − − π π 2 π π 2 cos n ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) d ϑ ϑ = C n V n − − 1 ( 1 ) {\displaystyle V_{n}(1)={\,V_{n-1}(1)\, \over r^{n}}\int _{-\pi \over 2}^{\pi \over 2}r^{n-1}\left[{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}(\vartheta )}}\right]^{n-1}r\,\cos(\vartheta )\,d\vartheta =V_{n-1}(1)\int _{-\pi \over 2}^{\pi \over 2}\cos ^{n}(\vartheta )\,d\vartheta =C_{n}\,V_{n-1}(1)}

avendo definito mwari C n = ∫ ∫ − − π π 2 π π 2 cos n ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) d ϑ ϑ = . . . = ( n − − 1 ) ! ! n ! ! σ σ n e σ σ n = { π π se n ∈ ∈ PARI ⊂ ⊂ I N 2 se n ∈ ∈ DISPARI ⊂ ⊂ I N {\displaystyle C_{n}=\int _{-\pi \over 2}^{\pi \over 2}\cos ^{n}(\vartheta )\,d\vartheta =\,...\,={\,(n-1)!!\, \over n!!}\,\sigma _{n}\qquad {\text{e}}\qquad \sigma _{n}={\begin{cases}\pi &{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\2&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}} Pertanto mwarm V n ( 1 ) = V n − − 1 ( 1 ) ( n − − 1 ) ! ! n ! ! σ σ n {\displaystyle V_{n}(1)=V_{n-1}(1)\,{\,(n-1)!!\, \over n!!}\,\sigma _{n}} mwarq V 1 ( 1 ) = 2 = σ σ 1 {\displaystyle V_{1}(1)=2=\sigma _{1}} (in questo caso la ipersfera centrata nell'origine di raggio mwaru r {\displaystyle r} è semplicemente il segmento da mwary − − r {\displaystyle -r} ad mwarc r {\displaystyle r} la cui lunghezza è mwarg 2 r {\displaystyle 2r} ) mwark V 2 ( 1 ) = V 1 ( 1 ) 1 ! ! 2 ! ! σ σ 2 = 1 2 ! ! σ σ 1 σ σ 2 = π π {\displaystyle V_{2}(1)=V_{1}(1)\,{1!! \over \,2!!\,}\,\sigma _{2}={1 \over \,2!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}=\pi }

mwarw V 3 ( 1 ) = V 2 ( 1 ) 2 ! ! 3 ! ! σ σ 3 = 1 2 ! ! 2 ! ! 3 ! ! σ σ 1 σ σ 2 σ σ 3 = 1 3 ! ! σ σ 1 σ σ 2 σ σ 3 = 4 3 π π {\displaystyle V_{3}(1)=V_{2}(1)\,{2!! \over \,3!!\,}\,\sigma _{3}={1 \over \,2!!\,}\,{2!! \over \,3!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}={1 \over \,3!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}={\,4\, \over 3}\,\pi }

mwar4 V 4 ( 1 ) = V 3 ( 1 ) 3 ! ! 4 ! ! σ σ 4 = 1 3 ! ! 3 ! ! 4 ! ! σ σ 1 σ σ 2 σ σ 3 σ σ 4 = 1 4 ! ! σ σ 1 σ σ 2 σ σ 3 σ σ 4 = 1 2 π π 2 {\displaystyle V_{4}(1)=V_{3}(1)\,{3!! \over \,4!!\,}\,\sigma _{4}={1 \over \,3!!\,}\,{3!! \over \,4!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{4}={1 \over \,4!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{4}={\,1\, \over 2}\,\pi ^{2}}

mwasa . . . {\displaystyle ...}

mwasi V n ( 1 ) = σ σ 1 σ σ 2 . . . . . . σ σ n n ! ! {\displaystyle V_{n}(1)={\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,...\quad ...\,\sigma _{n}\, \over n!!}}

Ricordando la definizione di mwasq σ σ n {\displaystyle \sigma _{n}} e che mwasu n ! ! = { 2 n 2 ( n 2 ) ! se n ∈ ∈ PARI ⊂ ⊂ I N n ! 2 n − − 1 2 ( n − − 1 2 ) ! se n ∈ ∈ DISPARI ⊂ ⊂ I N {\displaystyle n!!={\begin{cases}2^{n \over 2}\,\left(\displaystyle {\,n\, \over 2}\right)!&{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\\\\displaystyle {n! \over \,2^{n-1 \over 2}\left(\displaystyle {\,n-1\, \over 2}\right)!\,}&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}} mwasy V n ( 1 ) = { 2 n 2 π π n 2 2 n 2 ( n 2 ) ! se n ∈ ∈ PARI ⊂ ⊂ I N 2 n + 1 2 π π n − − 1 2 n ! 2 n − − 1 2 ( n − − 1 2 ) ! se n ∈ ∈ DISPARI ⊂ ⊂ I N {\displaystyle V_{n}(1)={\begin{cases}{\displaystyle {2^{n \over 2}\,\pi ^{n \over 2}} \over \,\,\displaystyle {2^{n \over 2}\,\left({\,n\, \over 2}\right)!\,}}&{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\\\{\displaystyle 2^{n+1 \over 2}\,\,\pi ^{n-1 \over 2} \over \quad {\displaystyle n! \over \,\,\,\displaystyle 2^{n-1 \over 2}\left({\,n-1\, \over 2}\right)!\,\,\,}\quad }&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}} mwasc ⇒ ⇒ V n ( 1 ) = { π π n 2 ( n 2 ) ! se n ∈ ∈ PARI ⊂ ⊂ I N 2 n π π n − − 1 2 ( n − − 1 2 ) ! n ! se n ∈ ∈ DISPARI ⊂ ⊂ I N {\displaystyle \qquad \Rightarrow \qquad V_{n}(1)={\begin{cases}{\displaystyle {\pi ^{n \over 2}} \over \,\displaystyle {\left({\,n\, \over 2}\right)!\,}}&{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\\\{\displaystyle \,\,\,2^{n}\,\,\pi ^{n-1 \over 2}\,\left({\,n-1\, \over 2}\right)!\,\,\, \over \displaystyle n!}&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}}

| Numero di dimensioni n | Ipervolume V n ( r ) {\displaystyle V_{n}(r)} | Misura ipersuperficiale S n ( r ) {\displaystyle S_{n}(r)} | Valore numerico V n ( 1 ) {\displaystyle V_{n}(1)} | Valore numerico S n ( 1 ) {\displaystyle S_{n}(1)} |

|---|---|---|---|---|

| 1 | 2 r {\displaystyle 2r} | 2 {\displaystyle 2} | 2,000.000.000 | 2,000.000.000 |

| 2 | π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} | 2 π r {\displaystyle 2\pi r} | 3,141.592.654 | 6,283.185.307 |

| 3 | 4 3 π r 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}} | 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} | 4,188.790.205 | 12,566.370.614 |

| 4 | 1 2 π 2 r 4 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}} | 2 π 2 r 3 {\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}} | 4,934.802.201 | 19,739.208.802 |

| 5 | 8 15 π 2 r 5 {\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}} | 8 3 π 2 r 4 {\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}} | 5,263.789.014 | 26,318.945.070 |

| 6 | 1 6 π 3 r 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}} | π 3 r 5 {\displaystyle \pi ^{3}r^{5}} | 5,167.712.780 | 31,006.276.680 |

| 7 | 16 105 π 3 r 7 {\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}} | 16 15 π 3 r 6 {\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}} | 4,724.765.970 | 33,073.361.792 |

| 8 | 1 24 π 4 r 8 {\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}} | 1 3 π 4 r 7 {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}} | 4,058.712.126 | 32,469.697.011 |

| 9 | 32 945 π 4 r 9 {\displaystyle {\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}} | 32 105 π 4 r 8 {\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}} | 3,298.508.903 | 29,686.580.125 |

| 10 | 1 120 π 5 r 10 {\displaystyle {\frac {1}{120}}\pi ^{5}r^{10}} | 1 12 π 5 r 9 {\displaystyle {\frac {1}{12}}\pi ^{5}r^{9}} | 2,550.164.040 | 25,501.640.399 |

| 11 | 64 10.395 π 5 r 11 {\displaystyle {\frac {64}{10.395}}\pi ^{5}r^{11}} | 64 945 π 5 r 10 {\displaystyle {\frac {64}{945}}\pi ^{5}r^{10}} | 1,884.103.879 | 20,725.142.673 |

| 12 | 1 720 π 6 r 12 {\displaystyle {\frac {1}{720}}\pi ^{6}r^{12}} | 1 60 π 6 r 11 {\displaystyle {\frac {1}{60}}\pi ^{6}r^{11}} | 1,335.262.769 | 16,023.153.226 |

| 13 | 128 135.135 π 6 r 13 {\displaystyle {\frac {128}{135.135}}\pi ^{6}r^{13}} | 128 10.395 π 6 r 12 {\displaystyle {\frac {128}{10.395}}\pi ^{6}r^{12}} | 0,910.628.755 | 11,838.173.812 |

| 14 | 1 5.040 π 7 r 14 {\displaystyle {\frac {1}{5.040}}\pi ^{7}r^{14}} | 1 360 π 7 r 13 {\displaystyle {\frac {1}{360}}\pi ^{7}r^{13}} | 0,599.264.529 | 8,389.703.410 |

| 15 | 256 2.027.025 π 7 r 15 {\displaystyle {\frac {256}{2.027.025}}\pi ^{7}r^{15}} | 256 135.135 π 7 r 14 {\displaystyle {\frac {256}{135.135}}\pi ^{7}r^{14}} | 0,381.443.281 | 5,721.649.212 |

| 16 | 1 40.320 π 8 r 16 {\displaystyle {\frac {1}{40.320}}\pi ^{8}r^{16}} | 1 2.520 π 8 r 15 {\displaystyle {\frac {1}{2.520}}\pi ^{8}r^{15}} | 0,235.330.630 | 3,765.290.086 |

| 17 | 512 34.459.425 π 8 r 17 {\displaystyle {\frac {512}{34.459.425}}\pi ^{8}r^{17}} | 512 2.027.025 π 8 r 16 {\displaystyle {\frac {512}{2.027.025}}\pi ^{8}r^{16}} | 0,140.981.107 | 2,396.678.818 |

| 18 | 1 362.880 π 9 r 18 {\displaystyle {\frac {1}{362.880}}\pi ^{9}r^{18}} | 1 20.160 π 9 r 17 {\displaystyle {\frac {1}{20.160}}\pi ^{9}r^{17}} | 0,082.145.887 | 1,478.625.959 |

| 19 | 1.024 654.729.075 π 9 r 19 {\displaystyle {\frac {1.024}{654.729.075}}\pi ^{9}r^{19}} | 1.024 34.459.425 π 9 r 18 {\displaystyle {\frac {1.024}{34.459.425}}\pi ^{9}r^{18}} | 0,046.621.601 | 0,885.810.420 |

| 20 | 1 3.628.800 π 10 r 20 {\displaystyle {\frac {1}{3.628.800}}\pi ^{10}r^{20}} | 1 181.440 π 10 r 19 {\displaystyle {\frac {1}{181.440}}\pi ^{10}r^{19}} | 0,025.806.891 | 0,516.137.828 |

(La tabella vista poc'anzi deve essere modificata se si adopera la notazione utilizzata in topologia, mwaewvedi più avanti.)

Come si può notare, in entrambe le espressioni viste in precedenza per mwae8 V n ( r ) {\displaystyle V_{n}(r)} e per mwafa S n ( r ) {\displaystyle S_{n}(r)} , l'esponente di mwafe π π {\displaystyle \pi } aumenta di una unità ogni volta che il numero di dimensioni aumenta di due unità, passando al mwafinumero pari successivo.

È anche interessante notare come, al tendere del numero di dimensioni ad infinito, ipervolume e misura ipersuperficiale tendano a zero indipendentemente dal raggio:

mwafy lim n → → + ∞ ∞ V n ( r ) = lim n → → + ∞ ∞ S n ( r ) = 0 , ∀ ∀ r > 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }V_{n}(r)=\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}(r)=0{\text{ , }}\forall r>0}

mwafgNota Bene: Ciò non va interpretato pensando che, al crescere del numero mwafk n {\displaystyle n} di dimensioni, l'ipersfera tenda a non occupare ipervolume, ma va semplicemente interpretato dicendo che il rapporto tra il suo ipervolume e quello dell'mwafoipercubo mwafs n {\displaystyle n} -dimensionale di lato unitario tende a zero. La spiegazione geometrica è che, fissato il raggio di una ipersfera e fissata la lunghezza del lato di un ipercubo, al crescere del numero di dimensioni, mentre il diametro dell'ipersfera resta costante, la diagonale dell'ipercubo cresce proporzionalmente a mwafw n {\displaystyle {\sqrt {n}}} .

Quindi, fissato il raggio mwaf4 r {\displaystyle r} , le funzioni mwaf8 V n ( r ) {\displaystyle V_{n}(r)} ed mwaga S n ( r ) {\displaystyle S_{n}(r)} , al crescere del numero mwage n {\displaystyle n} di dimensioni, prima raggiungono un valore massimo e poi decrescono indefinitamente. In particolare, nel caso dell'ipersfera di raggio unitario mwagi r = 1 {\displaystyle r=1} ,

• l'ipervolume mwagu V n ( 1 ) {\displaystyle V_{n}(1)} raggiunge il suo valore massimo per mwagy n = 5 {\displaystyle n=5} dimensioni, mentre

• la misura ipersuperficiale mwagg S n ( 1 ) {\displaystyle S_{n}(1)} raggiunge il suo valore massimo per mwagk n = 7 {\displaystyle n=7} dimensioni, nel qual caso l'ipersuperficie è una varietà mwago 6 {\displaystyle 6} -dimensionale.

Un'altra considerazione particolare è la seguente: consideriamo due ipersfere nello spazio mwagw n {\displaystyle n} -dimensionale, delle quali una di raggio mwag0 r {\displaystyle r} e l'altra di raggio minore mwag4 ( 1 − − ε ε ) r {\displaystyle (1-\varepsilon )r} , essendo mwag8 0 < ε ε < 1 {\displaystyle 0<\varepsilon <1} . Il rapporto tra i due ipervolumi

mwahi V n ( ( 1 − − ε ε ) r ) V n ( r ) = ( 1 − − ε ε ) n , {\displaystyle {\frac {V_{n}((1-\varepsilon )r)}{V_{n}(r)}}=(1-\varepsilon )^{n},}

fissato mwahq r {\displaystyle r} , tende comunque a mwahu 0 {\displaystyle 0} , al crescere del numero mwahy n {\displaystyle n} di dimensioni, qualunque sia il valore (anche molto piccolo) scelto per mwahc ε ε {\displaystyle \varepsilon } , poiché mwahg 1 − − ε ε < 1 {\displaystyle 1-\varepsilon <1} . Ciò si interpreta dicendo che, al crescere del numero di dimensioni, la maggior parte dell'ipervolume racchiuso nell'ipersfera tende a concentrarsi in prossimità dell'ipersuperficie. La stessa considerazione vale anche per altre figure geometriche mwahk n {\displaystyle n} -dimensionali.

Notiamo, infine, che la relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale può essere riscritta anche nel modo seguente:

mwah0 V n ( r ) = ∫ ∫ 0 r S n ( r ′ ) d r ′ = S n ( r ) ⋅ ⋅ r n {\displaystyle V_{n}(r)=\int _{0}^{r}S_{n}(r')dr'=S_{n}(r)\cdot {\frac {r}{n}}}

Questa identità può essere interpretata come una generalizzazione al caso mwah8 n {\displaystyle n} -dimensionale della mwaiadimostrazione tramite infinitesimi che si applica per il volume della sfera ordinaria, considerando l'ipersfera come l'unione di infinite iperpiramidi mwaie n {\displaystyle n} -dimensionali infinitesime aventi ciascuna il vertice nel centro dell'ipersfera e la base mwaii ( n − − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionale che poggia sull'ipersuperficie; queste infinite iperpiramidi elementari riempiono tutto e solo l'ipervolume dell'ipersfera e l'ipervolume di ogni iperpiramide è:

mwaiu misura ipersuperficiale di base ⋅ ⋅ altezza n {\displaystyle {\frac {{\mbox{misura ipersuperficiale di base}}\cdot {\mbox{altezza}}}{n}}}

L'ipervolume della sfera unitaria mwaig V n ( 1 ) {\displaystyle V_{n}(1)} può essere calcolato anche mediante l'mwaik n {\displaystyle n} -esimo coefficiente nell'mwaioespansione di Taylor della funzione

mwai0 f ( x ) = e π π x 2 ( 1 + e r f ( x π π ) ) , {\displaystyle f(x)=e^{\pi x^{2}}(1+\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})),}

dove

mwaje e r f ( x ) = 2 π π ∫ ∫ 0 x e − − t 2 d t {\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}

è la mwajmfunzione degli errori. In particolare

mwajy V n ( 1 ) = f ( n ) ( 0 ) n ! , S n ( 1 ) = f ( n ) ( 0 ) ( n − − 1 ) ! {\displaystyle V_{n}(1)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}},\quad S_{n}(1)={\frac {f^{(n)}(0)}{(n-1)!}}}

dove stiamo includendo anche le definizioni mwajg V 0 ( 1 ) := 1 {\displaystyle V_{0}(1):=1} (la mwajkcardinalità di un insieme composto da un singolo punto: la palla unitaria in dimensione 0) e mwajo V 1 ( 1 ) := 2 {\displaystyle V_{1}(1):=2} (la lunghezza del segmento mwajs ( − − 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} : la palla unitaria in dimensione 1).

Infatti, posta mwaj0 B n {\displaystyle B_{n}} la palla unitaria, applicando la mwaj4formula di coarea riusciamo a scrivere (per ogni mwaj8 n ≥ ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} )

mwaki V n ( 1 ) = ∫ ∫ B n 1 d x 1 … … d x n = V n − − 1 ( 1 ) ∫ ∫ − − 1 1 ( 1 − − t 2 ) n − − 1 2 d t . {\displaystyle V_{n}(1)=\int _{B_{n}}1dx_{1}\ldots dx_{n}=V_{n-1}(1)\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\frac {n-1}{2}}dt.}

Pertanto, sfruttando la mwakqconvergenza totale della serie su ogni sottoinsieme mwakuchiuso e mwakylimitato di mwakc R {\displaystyle \mathbb {R} } , scriviamo

mwako ∑ ∑ n = 0 + ∞ ∞ V n ( 1 ) x n = ∑ ∑ k = 0 + ∞ ∞ V 2 k ( 1 ) x 2 k + ∑ ∑ k = 0 + ∞ ∞ V 2 k + 1 ( 1 ) x 2 k + 1 = ∑ ∑ k = 0 + ∞ ∞ π π k x 2 k k ! + x ∑ ∑ k = 0 + ∞ ∞ V 2 k ( 1 ) ∫ ∫ − − 1 1 ( 1 − − t 2 ) k x 2 k d t = e π π x 2 + x ∫ ∫ − − 1 1 ∑ ∑ k = 0 + ∞ ∞ π π k ( 1 − − t 2 ) k x 2 k k ! d t = e π π x 2 + x ∫ ∫ − − 1 1 e π π ( 1 − − t 2 ) x 2 d t = e π π x 2 + e π π x 2 2 x ∫ ∫ 0 1 e − − π π t 2 x 2 d t = e π π x 2 + e π π x 2 2 π π ∫ ∫ 0 x π π e − − t 2 d t = e π π x 2 + e π π x 2 e r f ( x π π ) = e π π x 2 ( 1 + e r f ( x π π ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(1)x^{n}&=\sum _{k=0}^{+\infty }V_{2k}(1)x^{2k}+\sum _{k=0}^{+\infty }V_{2k+1}(1)x^{2k+1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {\pi ^{k}x^{2k}}{k!}}+x\sum _{k=0}^{+\infty }V_{2k}(1)\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{k}x^{2k}dt\\&=e^{\pi x^{2}}+x\int _{-1}^{1}\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {\pi ^{k}(1-t^{2})^{k}x^{2k}}{k!}}dt=e^{\pi x^{2}}+x\int _{-1}^{1}e^{\pi (1-t^{2})x^{2}}dt\\&=e^{\pi x^{2}}+e^{\pi x^{2}}2x\int _{0}^{1}e^{-\pi t^{2}x^{2}}dt=e^{\pi x^{2}}+e^{\pi x^{2}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x{\sqrt {\pi }}}e^{-t^{2}}dt\\&=e^{\pi x^{2}}+e^{\pi x^{2}}\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})=e^{\pi x^{2}}(1+\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})).\end{aligned}}}

Osservando inoltre che mwakw V n ( 1 ) x n = V n ( x ) {\displaystyle V_{n}(1)x^{n}=V_{n}(x)} si può riscrivere la somma come

mwak8 ∑ ∑ n = 0 + ∞ ∞ V n ( x ) = e π π x 2 ( 1 + e r f ( x π π ) ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(x)=e^{\pi x^{2}}(1+\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})).}

Infine, ponendo mwale x = 1 {\displaystyle x=1} , si ottiene

mwalq ∑ ∑ n = 0 + ∞ ∞ V n ( 1 ) = e π π ( 1 + e r f ( π π ) ) ≈ ≈ 45 , 999326. {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(1)=e^{\pi }(1+\mathrm {erf} ({\sqrt {\pi }}))\approx 45,999326.}

I cosiddetti mwalcparadossi delle ipersfere, impropriamente definiti tali, sono, in realtà, solo particolari proprietà geometriche degli mwalgspazi euclidei con numero di mwalkdimensioni elevato, in particolare, con numero di dimensioni maggiore di mwalo 9 {\displaystyle 9} ; l'appellativo di "paradossi" è dovuto al carattere apparentemente antiintuitivo di tali proprietà geometriche, se si opera un confronto con ciò che accade nello spazio mwals 3 {\displaystyle 3} -dimensionale ordinario. Su alcuni testi sono indicati come mwalwparadossi di Mosercite-ref-1[1], essendo stati probabilmente scoperti dal mwamematematico mwamiaustriaco naturalizzato mwammcanadese mwamqLeo Mosercite-ref-2[2].

Nel piano, cioè nello spazio euclideo a mwams n = 2 {\displaystyle n=2} dimensioni, mwamw 2 2 = 4 {\displaystyle 2^{2}=4} cerchi di raggio mwam0 r {\displaystyle r} possono essere inseriti all'interno di un quadrato di lato mwam4 4 r {\displaystyle 4r} , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti ai lati del quadrato; tali cerchi si ottengono dividendo il quadrato di partenza in mwam8 2 2 = 4 {\displaystyle 2^{2}=4} quadrati più piccoli di lato mwana 2 r {\displaystyle 2r} e considerando i cerchi iscritti in questi quadrati più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del quadrato di partenza, c'è ancora spazio per inserire un cerchio più piccolo di raggio mwane ( 2 − − 1 ) r {\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)r} .

Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a mwanm n = 3 {\displaystyle n=3} dimensioni, mwanq 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} sfere possono essere inserite all'interno di un cubo di lato mwanu 4 r {\displaystyle 4r} , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle facce del cubo; tali sfere si ottengono dividendo il cubo di partenza in mwany 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} cubi più piccoli di lato mwanc 2 r {\displaystyle 2r} e considerando le sfere iscritte in questi cubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del cubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire una sfera più piccola di raggio mwang ( 3 − − 1 ) r {\displaystyle ({\sqrt {3}}-1)r} .

Analogamente, nello spazio euclideo a mwano n = 4 {\displaystyle n=4} dimensioni, mwans 2 4 = 16 {\displaystyle 2^{4}=16} ipersfere mwanw 4 {\displaystyle 4} -dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo mwan0 4 {\displaystyle 4} -dimensionale di lato mwan4 4 r {\displaystyle 4r} , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce mwan8 3 {\displaystyle 3} -dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere mwaoa 4 {\displaystyle 4} -dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo mwaoe 4 {\displaystyle 4} -dimensionale di partenza in mwaoi 2 4 = 16 {\displaystyle 2^{4}=16} ipercubi mwaom 4 {\displaystyle 4} -dimensionali più piccoli di lato mwaoq 2 r {\displaystyle 2r} e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio mwaou ( 4 − − 1 ) r = r {\displaystyle ({\sqrt {4}}-1)r=r} , la quale, quindi, ha lo stesso raggio e non è più piccola delle altre.

In generale, nello spazio euclideo a mwaoc n {\displaystyle n} dimensioni, mwaog 2 n {\displaystyle 2^{n}} ipersfere mwaok n {\displaystyle n} -dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo mwaoo n {\displaystyle n} -dimensionale di lato mwaos 4 r {\displaystyle 4r} , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce mwaow ( n − − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere mwao0 n {\displaystyle n} -dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo mwao4 n {\displaystyle n} -dimensionale di partenza in mwao8 2 n {\displaystyle 2^{n}} ipercubi mwapa n {\displaystyle n} -dimensionali più piccoli di lato mwape 2 r {\displaystyle 2r} e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio mwapi ( n − − 1 ) r {\displaystyle ({\sqrt {n}}-1)r} .

È evidente che, a partire da mwapq n = 5 {\displaystyle n=5} dimensioni, l'ipersfera centrale diventa più grande, cioè ha raggio maggiore, rispetto alle altre mwapu 2 n {\displaystyle 2^{n}} ipersfere.

A mwapc n = 9 {\displaystyle n=9} dimensioni, poi, l'ipersfera centrale ha raggio mwapg ( 9 − − 1 ) r = 2 r {\displaystyle ({\sqrt {9}}-1)r=2r} , quindi ha diametro mwapk 4 r {\displaystyle 4r} uguale al lato dell'ipercubo che contiene tutte le ipersfere considerate, pertanto diviene tangente alle iperfacce mwapo 8 {\displaystyle 8} -dimensionali di tale ipercubo; ciò nonostante, all'interno dell'ipercubo, in corrispondenza dei vertici, c'è ancora spazio per le altre mwaps 2 9 = 512 {\displaystyle 2^{9}=512} ipersfere.

È evidente che, a partire da mwap0 n = 10 {\displaystyle n=10} dimensioni, l'ipersfera centrale non può più entrare nell'ipercubo considerato, poiché ha diametro maggiore di mwap4 4 r {\displaystyle 4r} e, pertanto, sporge all'esterno.

Nel piano, cioè nello spazio euclideo a mwaqe n = 2 {\displaystyle n=2} dimensioni, consideriamo una scacchiera, costituita da quadrati di lato mwaqi l {\displaystyle l} . Un cerchio circoscritto a ciascun quadrato della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del quadrato, ossia mwaqm l 2 {\displaystyle l{\sqrt {2}}} , pertanto occupa parte dei quadrati adiacenti.

Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a mwaqu n = 3 {\displaystyle n=3} dimensioni, consideriamo una scacchiera mwaqy 3 {\displaystyle 3} -dimensionale, costituita da cubi di lato mwaqc l {\displaystyle l} . Una sfera circoscritta a ciascun cubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del cubo, ossia mwaqg l 3 {\displaystyle l{\sqrt {3}}} , pertanto occupa parte dei cubi adiacenti.

In generale, nello spazio euclideo a mwaqo n {\displaystyle n} dimensioni, consideriamo una scacchiera mwaqs n {\displaystyle n} -dimensionale, costituita da ipercubi mwaqw n {\displaystyle n} -dimensionali di lato mwaq0 l {\displaystyle l} . Un'ipersfera mwaq4 n {\displaystyle n} -dimensionale circoscritta a ciascun ipercubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale dell'ipercubo, ossia mwaq8 l n {\displaystyle l{\sqrt {n}}} , pertanto occupa parte degli ipercubi adiacenti.

A mware n = 9 {\displaystyle n=9} dimensioni, l'ipersfera circoscritta a ciascun ipercubo ha diametro uguale a mwari l 9 = 3 l {\displaystyle l{\sqrt {9}}=3l} , pertanto essa passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, è anche tangente alle iperfacce degli ipercubi adiacenti, le quali si trovano dalla parte opposta rispetto alle iperfacce in comune con l'ipercubo a cui è circoscritta l'ipersfera.

È evidente che, a partire da mwarq n = 10 {\displaystyle n=10} dimensioni, l'ipersfera passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, sporge all'esterno degli ipercubi adiacenti.

Un altro fenomeno particolare accade già a partire da mwary n = 4 {\displaystyle n=4} dimensioni: in tal caso, ogni ipersfera circoscritta ha raggio uguale o maggiore di mwarc l 4 = 2 l {\displaystyle l{\sqrt {4}}=2l} , pertanto include anche i centri degli ipercubi adiacenti. Si comprende allora che, dato un qualunque ipercubo della scacchiera mwarg n {\displaystyle n} -dimensionale, esso risulta completamente occupato da tutte le ipersfere circoscritte agli ipercubi adiacenti; invece, in una scacchiera mwark 2 {\displaystyle 2} -dimensionale o mwaro 3 {\displaystyle 3} -dimensionale, un qualunque quadrato o cubo non viene completamente occupato da tutti i cerchi circoscritti o da tutte le sfere circoscritte ai quadrati o ai cubi adiacenti.

Come accennato in precedenza, in mwar0topologia, l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello mwar4spazio euclideo mwar8 n {\displaystyle n} -dimensionale, che hanno distanza mwasa r {\displaystyle r} da un dato punto fissato mwase P {\displaystyle P} , essendo una mwasivarietà mwasm ( n − − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensionale, è indicata con mwasq S n − − 1 {\displaystyle S_{n-1}} invece che mwasu S n {\displaystyle S_{n}} , cioè si pone

mwasg S n − − 1 = { x ∈ ∈ R n : ‖ x − − P ‖ = r } {\displaystyle S_{n-1}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|=r\right\}}

In alternativa, si può porre

mwasw S n = { x ∈ ∈ R n + 1 : ‖ x − − P ‖ = r } {\displaystyle S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x-P\right\|=r\right\}}

ossia si può considerare l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello spazio euclideo mwas4 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -dimensionale, che hanno distanza mwas8 r {\displaystyle r} da un dato punto fissato mwata P {\displaystyle P} , la quale è una varietà mwate n {\displaystyle n} -dimensionale.

In topologia, la varietà mwatm n {\displaystyle n} -dimensionale mwatq S n {\displaystyle S_{n}} così definita prende anche il nome di mwatumwaty n {\displaystyle n} -sfera.

Con tale convenzione, si ha, per esempio, che:

• l'mwato 1 {\displaystyle 1} -sfera mwats S 1 {\displaystyle S_{1}} è una mwatwcirconferenza

• la mwat4 2 {\displaystyle 2} -sfera mwat8 S 2 {\displaystyle S_{2}} è una superficie sferica ordinaria

• la mwaue3 {\displaystyle 3} -sfera mwaum S 3 {\displaystyle S_{3}} è un'ipersuperficie mwauq 3 {\displaystyle 3} -dimensionale che rappresenta la mwauufrontiera di una mwauypalla mwauc 4 {\displaystyle 4} -dimensionale.

Con la notazione utilizzata in topologia, la formula che esprime la misura ipersuperficiale si ottiene da quella vista in precedenza sostituendo mwauk n {\displaystyle n} con mwauo ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} , cioè

mwau0 S n ( r ) = 2 π π n + 1 2 Γ Γ ( n + 1 2 ) r n = { π π n + 1 2 r n 1 2 ⋅ ⋅ ( n − − 1 2 ) ! , per n dispari 2 n 2 + 1 π π n 2 r n 1 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋯ ⋯ ⋅ ⋅ ( n − − 1 ) , per n pari {\displaystyle S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}r^{n}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}r^{n}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\\{\frac {2^{{\frac {n}{2}}+1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-1)}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\end{cases}}}

Applicando questa formula, si ottiene, per esempio, che:

• la misura mwave 1 {\displaystyle 1} -dimensionale di una mwavi 1 {\displaystyle 1} -sfera, ossia la lunghezza di una circonferenza, è mwavm 2 π π r {\displaystyle 2\pi r} ;

• la misura mwavu 2 {\displaystyle 2} -dimensionale di una mwavy 2 {\displaystyle 2} -sfera, ossia l'area di una superficie sferica ordinaria, è mwavc 4 π π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} ;

• la misura mwavk 3 {\displaystyle 3} -dimensionale di una mwavo 3 {\displaystyle 3} -sfera, ossia il volume di un'ipersuperficie ipersferica mwavs 3 {\displaystyle 3} -dimensionale, è mwavw 2 π π 2 r 3 {\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}} .

e la mwav4tabella vista in precedenza deve essere modificata nel seguente modo:

| Numero di dimensioni n | Misura dell' n {\displaystyle n} -sfera S n ( r ) {\displaystyle S_{n}(r)} | Ipervolume racchiuso V n + 1 ( r ) {\displaystyle V_{n+1}(r)} | Valore numerico S n ( 1 ) {\displaystyle S_{n}(1)} | Valore numerico V n + 1 ( 1 ) {\displaystyle V_{n+1}(1)} |

|---|---|---|---|---|

| 1 | 2 π r {\displaystyle 2\pi r} | π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} | 6,283.185.307 | 3,141.592.654 |

| 2 | 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} | 4 3 π r 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}} | 12,566.370.614 | 4,188.790.205 |

| 3 | 2 π 2 r 3 {\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}} | 1 2 π 2 r 4 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}} | 19,739.208.802 | 4,934.802.201 |

| 4 | 8 3 π 2 r 4 {\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}} | 8 15 π 2 r 5 {\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}} | 26,318.945.070 | 5,263.789.014 |

| 5 | π 3 r 5 {\displaystyle \pi ^{3}r^{5}} | 1 6 π 3 r 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}} | 31,006.276.680 | 5,167.712.780 |

| 6 | 16 15 π 3 r 6 {\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}} | 16 105 π 3 r 7 {\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}} | 33,073.361.792 | 4,724.765.970 |

| 7 | 1 3 π 4 r 7 {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}} | 1 24 π 4 r 8 {\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}} | 32,469.697.011 | 4,058.712.126 |

| 8 | 32 105 π 4 r 8 {\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}} | 32 945 π 4 r 9 {\displaystyle {\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}} | 29,686.580.125 | 3,298.508.903 |

| 9 | 1 12 π 5 r 9 {\displaystyle {\frac {1}{12}}\pi ^{5}r^{9}} | 1 120 π 5 r 10 {\displaystyle {\frac {1}{120}}\pi ^{5}r^{10}} | 25,501.640.399 | 2,550.164.040 |

| 10 | 64 945 π 5 r 10 {\displaystyle {\frac {64}{945}}\pi ^{5}r^{10}} | 64 10.395 π 5 r 11 {\displaystyle {\frac {64}{10.395}}\pi ^{5}r^{11}} | 20,725.142.673 | 1,884.103.879 |

| 11 | 1 60 π 6 r 11 {\displaystyle {\frac {1}{60}}\pi ^{6}r^{11}} | 1 720 π 6 r 12 {\displaystyle {\frac {1}{720}}\pi ^{6}r^{12}} | 16,023.153.226 | 1,335.262.769 |

| 12 | 128 10.395 π 6 r 12 {\displaystyle {\frac {128}{10.395}}\pi ^{6}r^{12}} | 128 135.135 π 6 r 13 {\displaystyle {\frac {128}{135.135}}\pi ^{6}r^{13}} | 11,838.173.812 | 0,910.628.755 |

| 13 | 1 360 π 7 r 13 {\displaystyle {\frac {1}{360}}\pi ^{7}r^{13}} | 1 5.040 π 7 r 14 {\displaystyle {\frac {1}{5.040}}\pi ^{7}r^{14}} | 8,389.703.410 | 0,599.264.529 |

| 14 | 256 135.135 π 7 r 14 {\displaystyle {\frac {256}{135.135}}\pi ^{7}r^{14}} | 256 2.027.025 π 7 r 15 {\displaystyle {\frac {256}{2.027.025}}\pi ^{7}r^{15}} | 5,721.649.212 | 0,381.443.281 |

| 15 | 1 2.520 π 8 r 15 {\displaystyle {\frac {1}{2.520}}\pi ^{8}r^{15}} | 1 40.320 π 8 r 16 {\displaystyle {\frac {1}{40.320}}\pi ^{8}r^{16}} | 3,765.290.086 | 0,235.330.630 |

| 16 | 512 2.027.025 π 8 r 16 {\displaystyle {\frac {512}{2.027.025}}\pi ^{8}r^{16}} | 512 34.459.425 π 8 r 17 {\displaystyle {\frac {512}{34.459.425}}\pi ^{8}r^{17}} | 2,396.678.818 | 0,140.981.107 |

| 17 | 1 20.160 π 9 r 17 {\displaystyle {\frac {1}{20.160}}\pi ^{9}r^{17}} | 1 362.880 π 9 r 18 {\displaystyle {\frac {1}{362.880}}\pi ^{9}r^{18}} | 1,478.625.959 | 0,082.145.887 |

| 18 | 1.024 34.459.425 π 9 r 18 {\displaystyle {\frac {1.024}{34.459.425}}\pi ^{9}r^{18}} | 1.024 654.729.075 π 9 r 19 {\displaystyle {\frac {1.024}{654.729.075}}\pi ^{9}r^{19}} | 0,885.810.420 | 0,046.621.601 |

| 19 | 1 181.440 π 10 r 19 {\displaystyle {\frac {1}{181.440}}\pi ^{10}r^{19}} | 1 3.628.800 π 10 r 20 {\displaystyle {\frac {1}{3.628.800}}\pi ^{10}r^{20}} | 0,516.137.828 | 0,025.806.891 |

| 20 | 2.048 654.729.075 π 10 r 20 {\displaystyle {\frac {2.048}{654.729.075}}\pi ^{10}r^{20}} | 2.048 13.749.310.575 π 10 r 21 {\displaystyle {\frac {2.048}{13.749.310.575}}\pi ^{10}r^{21}} | 0,292.932.159 | 0,0139.491.504 |

Evidentemente, con questa notazione,

• la misura ipersuperficiale mwa7a S n ( 1 ) {\displaystyle S_{n}(1)} raggiunge il suo valore massimo per mwa7e n = 6 {\displaystyle n=6} dimensioni, corrispondente al caso della mwa7i 6 {\displaystyle 6} -sfera.

Inoltre, con la stessa notazione, la relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale si scrive:

mwa7y V n ( r ) = ∫ ∫ 0 r S n − − 1 ( r ′ ) d r ′ = S n − − 1 ( r ) ⋅ ⋅ r n {\displaystyle V_{n}(r)=\int _{0}^{r}S_{n-1}(r')dr'=S_{n-1}(r)\cdot {\frac {r}{n}}}

cite-note-11. ↑ mwa70mwa74Gardner 1981,mwa78 p. 42, p. 44 dove si parla di paradossi scoperti da mwa8aLeo Moser non ancora pubblicati.

cite-note-22. ↑ mwa8q(mwa8umwa8yEN) Brian Hayes, mwa8cmwa8gThe n-ball game, su mwa8kbit-player, 22 ottobre 2011.

• mwa80Franco Eugeni e Franco Mancinelli, Sull'ipervolume della ipersfera, in Atti del Convegno "La metodologia storica nell'insegnamento della matematica e della fisica", Atti Convegno Mathesis, Ripattoni di Bellante, 1998.

• citerefgardner-1981Martin Gardner, Sfere e ipersfere, in Circo matematico: una nuova serie di enigmi e giochi matematici, traduzione di Silvia Bemporad, Firenze, Sansoni, 1981, pp. 31-46, SBN SBL0627773. (in particolare si legga pp.mwa88 42–45 sui paradossi delle ipersfere).

• mwa9e(EN) Richard Wesley Hamming, 9: A Paradox, in Coding and Information theory, 2ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1980, pp. 164-169, ISBN 0-13-139139-9.

• mwa9uPalla (matematica)

• mwa9cSfera

• mwa9kSfera unitaria

• mwa9s3-sfera

• mwa90Formula di Minkowski-Steiner

• mwa98Costante di Gel'fond

• mwa-eIpercubo

Altri progetti

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• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Hypersphere, su MathWorld, Wolfram Research.

• mwa-gGiuseppe Cinà, Volume dell'ipersfera, su Basso Ostinato, cioè Italiano, 22 dicembre 2017.